Задачи по Эконометрике
Н.В. Артамонов (МГИМО МИД России)
1 Метод наименьших квадратов (теория)
1.1 Задача
Пусть задано \(n\) наблюдений (точек на плоскости) \(\{x_i,y_i\}_{i=1}^n\). Для линейной функции \(y=\beta_0+\beta_1x\)
применив метод наименьших квадратов выведите систему нормальных уравнений для нахождения параметров (оптимальной) прямой, наименее уклоняющейся от заданных наблюдений (точек на плоскости);
выведете формулы для оценок \(\widehat{\beta_0}\) и \(\widehat{\beta_1}\) коэффициентов оптимальной прямой;
покажите, что для оценок коэффициентов верно: \[ \widehat{\beta_1}=\frac{s.cov(x,y)}{s.Var(x)} \quad \widehat{\beta_0}=\bar{y}- \widehat{\beta_1}\cdot \bar{x} \]
(Здесь \(s.cov(x,y)\) - выборочная ковариация, \(s.Var()\) - выборочная дисперсия)
1.2 Задача
Пусть задано \(n\) наблюдений (точек на плоскости) \(\{x_i,y_i\}_{i=1}^n\). Для линейной функции \(y=\beta x\)
рименив метод наименьших квадратов выведите систему нормальных уравнений для нахождения параметров (оптимальной) прямой, наименее уклоняющейся от заданных наблюдений (точек на плоскости);
выведете формулы для оценки \(\widehat{\beta}\) коэффициента оптимальной прямой.
1.3 Задача
Пусть \(\hat{\beta}\) есть OLS-оценка коэффициента наклона линейной функции \(y\) на \(x\) без константы, а \(\hat{\gamma}\) – OLS-оценка коэффициента наклона в линейной функции \(x\) на \(y\) без константы. Верно ли для этих оценок равенство
\[ \hat{\gamma}=\frac{1}{\hat{\beta}}? \]
1.4 Задача
Пусть \(\widehat{\beta}_1\) есть OLS-оценка коэффициента наклона линейной функции \(y\) на \(x\) с константой, а \(\widehat{\gamma}_1\) - OLS-оценка коэффициента наклона линейной функции \(x\) на \(y\) с константой. Верно ли равенство \[ \widehat{\gamma}_1=\frac{1}{\widehat{\beta}_1}? \] Ответ поясните.
2 Метод наименьших квадратов (практика)
Важно: во всех задачах логарифм натуральный!
Задания основаны на датасетах sleep75, Labour
2.1 Задача (sleep equation)
Рассморим набор данных (описание датасета sleep75 см. в задачнике)
===================
sleep totwrk age
-------------------
1 3113 3438 32
2 2920 5020 31
3 2670 2815 44
4 3083 3786 30
5 3448 2580 64
6 4063 1205 41
7 3180 2113 35
8 2928 3608 47
9 3368 2353 32
10 3018 2851 30
11 1575 6415 43
12 3295 370 23
13 3798 2438 24
14 3008 2693 48
15 3248 2526 33
-------------------Нарисуйте графики наблюдений sleep vs totwrk и sleep vs age
Найдите параметры оптимальной прямой sleep на totwrk (с константой). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) totwrk
3990.36 -0.30 - Найдите параметры оптимальной прямой sleep на totwrk (без константы). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
totwrk
0.81 - Найдите параметры оптимальной прямой sleep на age (с константой). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) age
3432.10 -8.56 - Найдите параметры оптимальной прямой sleep на age (без константы). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
age
77.16 2.2 Задача (output equation)
Рассморим набор данных (описание датасета Labour см. в задачнике)
================================
capital labour output wage
--------------------------------
1 2.607 184 9.251 43.080
2 1.323 91 3.664 27.780
3 22.094 426 28.782 44.468
4 10.738 72 4.125 39.735
5 1.161 46 2.890 34.651
6 276.797 7642 480.140 48.940
7 1.679 48 2.149 32.458
8 1.157 108 4.140 31.117
9 0.880 35 2.461 35.115
10 3.487 72 3.851 32.525
11 0.527 71 3.246 42.703
12 0.670 29 1.718 38.816
13 2.955 77 4.403 26.273
14 0.443 57 2.924 39.910
15 1.143 46 3.836 38.903
--------------------------------Нарисуйте графики наблюдений log(output) vs log(capital), log(output) vs log(labour) и log(output) vs log(wage)
Найдите параметры оптимальной прямой log(output) vs log(capital) (с константой). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) log(capital)
1.02 0.75 - Найдите параметры оптимальной прямой log(output) vs log(capital) (без константы). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
log(capital)
1.02 - Найдите параметры оптимальной прямой log(output) vs log(labour) (с константой). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) log(labour)
-2.95 1.01 - Найдите параметры оптимальной прямой log(output) vs log(labour) (без константы). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
log(labour)
0.42 - Найдите параметры оптимальной прямой log(output) vs log(wage) (с константой). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) log(wage)
-13.94 4.35 - Найдите параметры оптимальной прямой log(output) vs log(wage) (без константы). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
log(wage)
0.48 2.3 Задача (quadratic sleep equation)
Рассморим набор данных (описание датасета sleep75 см. в задачнике)
===================
sleep totwrk age
-------------------
1 3113 3438 32
2 2920 5020 31
3 2670 2815 44
4 3083 3786 30
5 3448 2580 64
6 4063 1205 41
7 3180 2113 35
8 2928 3608 47
9 3368 2353 32
10 3018 2851 30
11 1575 6415 43
12 3295 370 23
13 3798 2438 24
14 3008 2693 48
15 3248 2526 33
-------------------Нарисуйте графики наблюдений sleep vs totwrk и sleep vs age
Найдите параметры оптимальной параболы sleep на totwrk & totwrk2. Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) totwrk I(totwrk^2)
3515.41 0.04 0.00 - Найдите параметры оптимальной параболы sleep на age & age2. Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) age I(age^2)
5830.09 -131.91 1.47 2.4 Задача (multivariate sleep equation)
Рассморим набор данных (описание датасета sleep75 см. в задачнике)
===================
sleep totwrk age
-------------------
1 3113 3438 32
2 2920 5020 31
3 2670 2815 44
4 3083 3786 30
5 3448 2580 64
6 4063 1205 41
7 3180 2113 35
8 2928 3608 47
9 3368 2353 32
10 3018 2851 30
11 1575 6415 43
12 3295 370 23
13 3798 2438 24
14 3008 2693 48
15 3248 2526 33
16 3683 2950 23
17 3201 3003 46
18 2580 4011 37
19 3420 2300 53
20 3090 1543 45
-------------------Найдите параметры оптимальной плоскости sleep на totwrk & age. Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) totwrk age
4173.43 -0.28 -5.62 2.5 Задача (multivariate output equation)
Рассморим набор данных (описание датасета Labour см. в задачнике)
================================
capital labour output wage
--------------------------------
1 2.607 184 9.251 43.080
2 1.323 91 3.664 27.780
3 22.094 426 28.782 44.468
4 10.738 72 4.125 39.735
5 1.161 46 2.890 34.651
6 276.797 7642 480.140 48.940
7 1.679 48 2.149 32.458
8 1.157 108 4.140 31.117
9 0.880 35 2.461 35.115
10 3.487 72 3.851 32.525
11 0.527 71 3.246 42.703
12 0.670 29 1.718 38.816
13 2.955 77 4.403 26.273
14 0.443 57 2.924 39.910
15 1.143 46 3.836 38.903
16 3.624 188 6.527 26.349
17 0.090 4 0.273 24.851
18 7.325 222 3.473 43.050
19 3.614 180 3.704 19.717
20 0.389 61 2.113 27.260
--------------------------------Найдите параметры оптимальной плоскости log(output) на log(capital) & log(labour) (с константой). Ответ округлите до 2-х десятичных знаков
Ответ
(Intercept) log(capital) log(labour)
-2.16 0.15 0.78 2.6 Задача (свойства OLS. Sleep equation)
Рассморим набор данных (описание датасета sleep75 см. в задачнике)
===================
sleep totwrk age
-------------------
1 3113 3438 32
2 2920 5020 31
3 2670 2815 44
4 3083 3786 30
5 3448 2580 64
6 4063 1205 41
7 3180 2113 35
8 2928 3608 47
9 3368 2353 32
10 3018 2851 30
11 1575 6415 43
12 3295 370 23
13 3798 2438 24
14 3008 2693 48
15 3248 2526 33
-------------------Найдите параметры оптимальной прямой sleep на totwrk и totwrk на sleep(с константой). Сравните коэффициенты наклона
Ответ
(Intercept) totwrk
3990.3551021 -0.2972185 (Intercept) sleep
9270.376534 -2.030283 2.7 Задача (свойства OLS. Cost equation)
Рассморим набор данных (описание датасета Electricity см. в задачнике)
=====================================
cost q pl pk pf
-------------------------------------
1 0.213 8 6869.470 64.945 18
2 3.043 869 8372.960 68.227 21.067
3 9.406 1412 7960.900 40.692 41.530
4 0.761 65 8971.890 41.243 28.539
5 2.259 295 8218.400 71.940 39.200
6 1.342 183 5063.490 74.430 35.510
7 0.616 50 9204.240 90.470 32.070
8 0.489 14 5438.890 86.110 34.150
9 1.147 90 7189.670 79.101 21.503
10 7.549 2969 8183.340 80.657 9
11 2.053 374 7884.940 82.485 26.301
12 0.636 67 6696.500 58.258 25.400
13 3.150 378 7895.430 60.277 42.468
14 10.314 1886 6833.930 67.680 25.600
15 5.849 1025 7093.320 68.227 22.279
-------------------------------------Найдите параметры оптимальной прямой cost на q и q на cost(без константой). Сравните коэффициенты наклона
Ответ
q
0.004030933 cost
209.4879 2.8 Задача (свойства OLS. Sleep equation. Scaling)
Рассморим набор данных (описание датасета sleep75 см. в задачнике)
===================
sleep totwrk age
-------------------
1 3113 3438 32
2 2920 5020 31
3 2670 2815 44
4 3083 3786 30
5 3448 2580 64
6 4063 1205 41
7 3180 2113 35
8 2928 3608 47
9 3368 2353 32
10 3018 2851 30
11 1575 6415 43
12 3295 370 23
13 3798 2438 24
14 3008 2693 48
15 3248 2526 33
16 3683 2950 23
17 3201 3003 46
18 2580 4011 37
19 3420 2300 53
20 3090 1543 45
-------------------- Найдите параметры оптимальной прямой sleep на totwrk и прямой sleep/60 на totwrk/60 (с константой) Сравните параметры первой и второй прямой
Ответ
(Intercept) totwrk
3967.4366219 -0.2871477 (Intercept) I(totwrk/60)
66.1239437 -0.2871477 Как можно объяснить выбор второй прямой?
- Найдите параметры оптимальной прямой sleep на age и прямой sleep/60 на age (с константой) Сравните параметры первой и второй прямой
Ответ
(Intercept) age
3425.135219 -7.639559 (Intercept) age
57.085587 -0.127326 Как можно объяснить выбор второй прямой?
2.9 Задача (свойства OLS. Sleep equation. Translation)
Рассморим набор данных (описание датасета sleep75 см. в задачнике)
===================
sleep totwrk age
-------------------
1 3113 3438 32
2 2920 5020 31
3 2670 2815 44
4 3083 3786 30
5 3448 2580 64
6 4063 1205 41
7 3180 2113 35
8 2928 3608 47
9 3368 2353 32
10 3018 2851 30
11 1575 6415 43
12 3295 370 23
13 3798 2438 24
14 3008 2693 48
15 3248 2526 33
16 3683 2950 23
17 3201 3003 46
18 2580 4011 37
19 3420 2300 53
20 3090 1543 45
-------------------Найдите параметры оптимальной прямой sleep на totwrk и прямой sleep-3000 на totwrk-2400 (с константой) Сравните параметры первой и второй прямой
Ответ
(Intercept) totwrk
3967.4366219 -0.2871477 (Intercept) I(totwrk - 2400)
278.2822586 -0.2871477 2.10 Задача (свойства OLS. Output equation. Translation)
Рассморим набор данных (описание датасета Labour см. в задачнике)
================================
capital labour output wage
--------------------------------
1 2.607 184 9.251 43.080
2 1.323 91 3.664 27.780
3 22.094 426 28.782 44.468
4 10.738 72 4.125 39.735
5 1.161 46 2.890 34.651
6 276.797 7642 480.140 48.940
7 1.679 48 2.149 32.458
8 1.157 108 4.140 31.117
9 0.880 35 2.461 35.115
10 3.487 72 3.851 32.525
11 0.527 71 3.246 42.703
12 0.670 29 1.718 38.816
13 2.955 77 4.403 26.273
14 0.443 57 2.924 39.910
15 1.143 46 3.836 38.903
16 3.624 188 6.527 26.349
17 0.090 4 0.273 24.851
18 7.325 222 3.473 43.050
19 3.614 180 3.704 19.717
20 0.389 61 2.113 27.260
--------------------------------Найдите параметры оптимальной прямой log(output) на log(capital) и прямой log(output)-\(\overline{\log(output)}\) на log(capital)-\(\overline{\log(capital)}\) (с константой) Сравните параметры первой и второй прямой
Ответ
(Intercept) log(capital)
0.9297468 0.7328578 (Intercept) I(log(capital) - m)
-6.746284e-17 7.328578e-01 3 Графики
Здесь приведеным графики к предыдущим заданиям (прямые с константой и без)
3.1 Задача (sleep equation)
3.2 Задача (output equation)
3.3 Задача (quadratic sleep equation)
3.4 Гистограммы (output equation)
3.5 Гистограммы (cost equation)
