Основы теории множеств.

Тема 1.1. Основы теории множеств.

Множество. Элементы множества. Способы задания множеств. Подмножество множества. Пустое множество. Универсальное множество. Диаграммы Эйлера-Венна. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества и их свойства. Алгебра множеств.

Линейная алгебра.

Тема 2.1. Действия с матрицами. Вычисление определителей. Нахождение обратной матрицы.

Определение матрицы. Квадратные и прямоугольные матрицы. Единичная и нулевая матрица. Ступенчатая матрица, треугольная матрица. Операция транспонирования матрицы. Равенство матриц. Операции с матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу. Свойства операций над матрицами.

Определитель матрицы. Минор и алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы. Вычисление определителей. Теорема Лапласа о разложении определителя по строке или столбцу. Графическое правило «треугольников». Элементарные преобразования определителей.

Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы. Алгоритмы вычисления обратной матрицы. Метод алгебраических дополнений. Метод Жордана-Гаусса.

Тема 2.2. Системы линейных алгебраических уравнений.

Системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Решение системы. Виды систем. Однородные и неоднородные, определенные и неопределенные, совместные и несовместные системы. Равносильные системы, равносильные преобразования.

Матричная форма записи системы линейных алгебраических уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными. Свободные и базисные неизвестные. Структура общего решения системы. Случаи единственного решения, бесконечного множества решений и отсутствия решений системы.

Решение квадратной системы уравнений по правилу Крамера.

Решение матричных уравнений.

Дифференциальное исчисление.

Тема 3.1. Функция одной переменной.

Переменные величины. Функция одной переменной величины. Область определения, множество значений функции. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический. График функции. Элементарные функции. Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Способы вычисления предела. Понятия бесконечно малых и бесконечно больших функций. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Свойства производной. Нахождение производных элементарных функций по определению. Таблица производных. Производная суммы, произведения и частного дифференцируемых функций. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Исследование функций и построение графиков с помощью производной.

Дифференциал функции. Свойства дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.

Точки локального максимума и минимума функции. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции. Исследование функций на монотонность и экстремум. Выпуклость и вогнутость функции. Применение производной второго порядка для определения промежутков выпуклости и вогнутости. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке.

Тема 3.2. Функция двух переменных.

Двумерное арифметическое евклидово пространство. Определение функции двух переменных. График функции двух переменных. Окрестность точки на плоскости.

Частные производные первого порядка. Геометрическая интерпретация частных производных первого порядка. Частные производные высших порядков.

Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Интегральное исчисление.

Понятие первообразной функции. Теорема о виде множества первообразных данной функции. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования подстановкой и по частям в неопределенном интеграле.

Разбиение отрезка. Параметр разбиения. Интегральные суммы. Предел интегральных сумм. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Основная теорема интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница). Методы интегрирования подстановкой и по частям в определенном интеграле. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями.

Методы вычисления несобственных интегралов.

Список рекомендуемой литературы.

1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Кремера Н. Ш. — М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Степанов А.В., Никитина Н.С. Сборник задач по математике в экономике. Учебное пособие. — М.: МГИМО, 2001.

3. Степанов А.В., Никитина Н.С. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие. — М.: МГИМО-Университет, 2011.

4. Григорьев В.В. Конспект по курсу. — на флэшке.